【2022-11-18每日一题】891. 子序列宽度之和[Hard]

2022-11-18每日一题：891. 子序列宽度之和

难度：Hard

标签：数组 、 数学 、 排序

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

方法一：数学（排序 + 枚举元素计算贡献）

• 推荐题解一
• 推荐题解二

const mod int = 1e9+7
// 写法一：
func sumSubseqWidths(nums []int) (ans int) {
    sort.Ints(nums)
    p, n := 1, len(nums)
    for i, v := range nums {
        ans = (ans + (v - nums[n-i-1])*p + mod) % mod
        p = (p << 1) % mod
    }
    return ans
}

// 写法二：
func sumSubseqWidths(nums []int) int {
    const mod int = 1e9 + 7
    sort.Ints(nums)
    ans, x, y := 0, nums[0], 2
    for _, num := range nums[1:] {
        ans = (ans + num*(y-1) - x) % mod
        x = (x*2 + num) % mod // (x << 1 + num) % mod
        y = y * 2 % mod // (y << 1) % mod
    }
    return (ans + mod) % mod
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nlog⁡n)，其中 n 是数组 nums 的长度。排序需要 O(nlog⁡n)，求解所有 Bj 需要 O(n)。

• 空间复杂度：O(logn)。排序需要 O(logn) 的栈空间。

LeetCode题库地址

• https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths