【2022-11-20每日一题】799. 香槟塔[Medium]
2022-11-20
2分钟阅读时长
2022-11-20每日一题：799. 香槟塔
难度：Medium
标签：动态规划
我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）
例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。
现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。
示例 1: 输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1 输出: 0.00000 解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。 示例 2: 输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1 输出: 0.50000 解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。
示例 3:
输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17 输出: 1.00000
提示:
0 <= poured <= 1090 <= query_glass <= query_row < 100
方法一：模拟或动态规划
代码
func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
row := []float64{float64(poured)}
for i := 1; i <= query_row; i++ {
newRow := make([]float64, i + 1)
for j, volume := range row {
if volume > 1 {
volume -= 1
newRow[j] += volume/2
newRow[j+1] += volume/2
}
}
row = newRow
}
return math.Min(row[query_glass], 1)
}
动态规划
func champagneTower(poured int, query_row int, query_glass int) float64 {
dp := [101][101]float64{} // 提示范围
dp[0][0] = float64(poured)
for i := 0; i <= query_row; i++ {
for j := 0; j <= i; j++ {
if dp[i][j] > 1 {
half := (dp[i][j] - 1) / 2.0
dp[i][j] = 1
dp[i+1][j] += half
dp[i+1][j+1] += half
}
}
}
return dp[query_row][query_glass]
}
复杂度分析
时间复杂度：O(query_row^2)。使用了两层 for 循环。
空间复杂度：O(query_row)。使用滚动数组实现的空间复杂度是 O(query_row)。